Dátum: 1999. november 18., 20:23
Feladó: Posztobányi Kálmán --
Tárgy: Pici fekete lyukak pedig nincsenek!?
Sziasztok!
Amikor megprobaltam kiszamitani, hogy mekkora egy 1 TeV-os fekete (feher)
lyuk Hawking-sugarzasakor kibocsatott foton energiaja, azaz a 10^48 kelvines
sugarzas energiakvantuma, az eredmeny sok nagysagrenddel meghaladta az 1
TeV-ot.
Azaz a lyuk osszenergiaja egyetlen foton letrehozasat sem fedezi. Vagy pedig
kenytelen eltitkolni, hogy o ilyen forro, es a kisebb homersekletnek megfelelo
nagyobb hullamhosszusagu tartomanyban sugaroz. Gyanus lett nekem, hogy ilyen
pici lyuk talan nem is letezik, vagy ha igen, akkor nem a Planck-torveny
szerint
sugaroz. Kulonfele fizikai osszefuggesek alapjan (ezek egy reszet DGy adta meg
egy korabbi Csillaban) erdekes dologra bukkantam:
Legye M a fekete lyuk tomege, m legyen egy foton tomege (pontosabban
energiaja
tomegben kifejezve, - tudvan azt, hogy a fotonok nyugalmi tomege nulla),
mu, tau, rho pedig a Planck-fele tomeg, ido es hosszusag, T a lyuk effektiv
homerseklete. G: gravitacios-, k: Boltzmann-, h: Planck-allando.
c: fenysebesseg.
1. A kT = mu^2 c^2 / M kepletbol T = mu^2 c^2 / (k M) (1)
Azaz a homerseklet forditva aranyos a lyuk tomegevel.
2. A Wien-torveny szerint egy test T homerseklete es a hosugarzas spektrumanak
lmax maximalis hullamhossza kozott az osszefugges: lmax T = h c / (x k),
ahol x = 4.965, egy irracionalis szam, mertekegysege nincs. Ha a Planck-fele
sugarzasi torvenybol levezetjuk a Wien-torvenyt, akkor meg kell oldanunk az
(1-x/5)e^x - 1 = 0 transzcendens egyenletet, ebbol adodik x. Latjuk, hogy
a Wien-torveny jobboldalan csupa allando mennyiseg szerepel, tehat lmax
forditottan aranyos T-vel. Keressuk m es T osszefuggeset. Egy lmax hullam-
hosszusagu foton energiaja E = h nu = h c / lmax, masreszt E = m c^2.
Ezekbol lmax = h / (m c). Ezt a Wien-torvenybe helyettesitve megvan az m es
a T kozotti kapcsolat, ami a T es az m kozotti egyenes aranyossag:
T = m c^2 / (x k) (2)
3. Egy M tomegu fekete lyuk atlagosan m tomegu fotonokat ereget ki magabol
Hawking-sugarzassal. M es m osszefuggese megkaphato az iment felirt (1) es (2)
egyenletekbol (T kiejtesevel):
M m = x mu^2 (3)
Tehat a ket tomeg szorzata a Planck-tomeg negyzetenek durvan otszorose.
Ahogy a lyuk parolog, tomege egyre fogy, mikozben egyre nagyobb energiaju
sugarzast bocsat ki. Mikozben M csokken, m novekszik. A folyamat addig tart,
amig M es m kozel egyenloek nem lesznek. Igy meg lehet adni egy also hatart
a lyuk M tomegere. Ha M = m, akkor M = sqrt(x) mu = 2.24*2*10^-8 kg =
= 4.48*10^-8 kg. Latjuk: ez a Planck-tomeg jo ketszerese, bakteriumok
nyomnak ennyit. Ennel konnyebb, pihebb fekete lyuk nem letezik. A fekete
lyukak eme konnyusegi bajnokanak a Schwarzschild-sugara
r = 2 G M / c^2 = 2 rho
elbomlasanak ideje pedig a DGy altal adott keplet szerint
t = tau sqrt(x^3).
(Nincs jogom ezeket a fekete lyukakra vonatkozo kepleteket hasznalni,
miutan megmutattam, hogy a 2.24*mu ala fogyo objektumra nem lehetnek
ervenyesek, de erzekeltetni akartam, hogy a mai fizikai tudas hatar-
videkenel jarunk, melyet a Planck-fele mennyisegek felbukkanasa jelez.)
Tehat a lyuk addig sugaroz, mig tomege sqrt(x)*mu-re csokken. Mi tortenik
azutan? Visszamarad valami, vagy az egesz lyuk egyetlen sqrt(x)*mu tomegu
fotonna alakul? Vagy tobb fotonna? Nem tudom. Csak annyit sejtek, hogy a
Hawking-sugarzasra vonatkozo Planck-torveny annal jobban elromlik, minel
jobban megkozeliti az elparolgo lyuk tomege az sqrt(x)*mu erteket.
A multkor, fekete lyukak gyorsitobeli keletkezeserol beszelgetve azt
mondtam, hogy a lyukak tomegenek nincs also hatara. Elnezest, Nyergeske,
tevedtem.
Van also hatar: a bakterium tomege. Gyorsitoban meg ekkora fekete lyukat
sem tudnanak eloallitani, csak 5-6 aranyatom tomegenek megfelelot. Akkora
meg nincs.
Udvozlettel:
Posztobanyi Kalman