Dátum: 2002. január 13., 20:14
Feladó: Válas György --
Tárgy: (Fwd) [Fizinfo] megegyszer a teli napfordulorol
<color><param>0100,0100,0100</param>------- Forwarded message follows ----
- Forwarded by Válas György--------
</color>From: <color><param>0000,0000,8000</param>Major Janos <
<bold>Subject: <color><param>0000,0000,8000</param>[Fizinfo] megeg
yszer a teli napfordulorol</bold></color>
Date sent: <color><param>0000,0000,8000</param>Sun, 13 Jan 2002 09:0
6:39 +0100 (CET)</color>
Tisztelt Fizinfo olvasok/irok!
Jo nehany hete abba a helyzetbe kerultem, hogy egy kedves
(nyugalmazott
mernok) ismeros egy "egyszeru" kerdest tett fel nekem azzal a
szokasos
indoklassal, hogy egy fizikusnak az ilyesmit tudnia kell. Miutan sem
azonnal, sem pedig valamennyi (nem tulzasba vitt) utananezessel sem
talaltam ertheto es tavabbadhato valaszt, a legegyszerubb modszert
valasztottam: irtam a Fizinfo-nak. Szamos, reszben magan, reszben
nyilvanos valaszt kaptam:
EZUTON SZERETNEM MINDEN VALASZADONAK
KOSZONETEMET KIFEJEZNI !
A valaszokbol sokat tanultam, azt hiszem, hogy meg is ertettem a
jelenseget. A megoldast tovabbadom a kerdest feltevonek es el fogom
mondani, hogy a magyar fizikus tarsadalom segitett a valaszadasban.
Fontos informaciot kaptam GNADIG PETERtol. Azt irta, hogy kb.
harom
evvel ezelott eppen ez a problema jelent meg a Kozepiskolai
Matematikai es
Fizikai Lapok (KoMaL) feladatmegoldo pontversenyeben mint az FN
3118 szamu
feladat. (Ha jol tudom, az N betu a nehez szo roviditese - ez nemileg
megnyugtato.)
A megoldas a KoMaL 1999. evi aprilisi szamaban (49. evfolyam, 4.
szam,
244. old.) jelent meg G. L. es V. P. alairassal. (Ez meg inkabb
megnyugtatott, hiszen a masodik monogram a feladat kituzojenek
nevet
(Vanko Peter), az elso Galfi Laszloet takarja: ez egy olyan nehez
problema, hogy meg a diakok sem tudtak teljesen megoldani - ez
pedig nem
fordul elo tul gyakran.) Ez a megoldas szamolassal egesziti ki PAL
KAROLY
FERENC Fizinfo-ra kuldott magyarazatat, ezert ide masolom a
megoldas fobb
eredmenyeit:
Kerdes: Budapesten december 22. az ev legrovidebb napja, de a Nap
december 11-en nyugszik le legkorabban es januar 2-an kel
legkesobben.
Hogyan lehetseges ez?
Valasz: A napfelkelte es napnyugta jo kozelitessel szimmetrikusan
tortenik a Nap delelesenek (nevezzuk ezt a idot "del"-nek) az
idopontjahoz viszonyitva. Ha meghatarozzuk a napok hosszat es az
orak
altal delben mutatott idot a naptari nap fuggvenyeben (ez az un.
idoegyenlet), akkor ki tudjuk szamitani azt, hogy mikor van
legkesobben
hajnal es mikor legkorabban alkony. Ha a del idopontjanak es a nappal
hosszanak a napi valtozasa azonos nagysagrendu, akkor konnyen
elkepzelheto
a szobanforgo jelenseg, vagyis az, hogy a hajnal es az alkony
szelsoertekei nem ugyanazon a napon kovetkeznek be.
(a) A nappal hosszat a kovetkezo egyenlet irja le:
cos (t Pi/12 ora) = - tg theta tg delta(d)
ahol t a napfelkelte vagy napnyugta idopontja,
theta = 19 fok (Budapest hosszusaga),
delta pedig a Nap sugarainak az Egyenlito sikjaval bezart szoge
(az egyenlet azt irja le, hogy hajnalkor es alkonyatkor a Fold es a Nap
kozeppontjanak iranyai - ahogy mi latjuk - merolegesek egymasra).
delta
fugg a naptari naptol (d). Adott d -re az egyenlet egymast koveto
gyokeinek kulonbsege adja meg a keresett mennyiseget, a nappal
hosszat,
azaz a
T_N(d)
fuggvenyt. Ennek a fuggvenynek sem az analitikus alakja, sem pedig a
kepe nem szerepel az idezett megoldasban.
(b) A idoegyenlet ket jarulekbol all: (1) a Fold palyaja ellipszis, azaz a
Fold keruleti sebessege nem allando; (2) a Fold forgastengelye nem
meroleges keringesi sikjara (azaz az Ekliptikara; ez az a nevezetes 23
fok
27 perc szog), es meg ha a Foldrol nezve a Nap sebesseget az
Ekliptikan
allandonak tekintjuk is, a Nap Egyenlitore valo vetuletenek a sebessege
mar nem lesz allando.
Ezen ket effektus (mivel mindketto kis jarulekot ad a del eltolodasahoz)
egyszeruen osszeadhato, azaz a del idopontja a naptari nap
fuggvenyeben
Budapesten jo kozelitessel
t_D(d) = 11 h 44 perc +
+ 7,7 perc sin(2 Pi (d - 1,5nap)/365 nap) +
+ 9,8 perc sin(4 Pi (d + 9 nap)/365 nap)
Ennek a fuggvenynek a kepet is megtalalhatjuk az idezett
megoldasban.
Fentiekbol a hajnal idopontja jo kozelitessel
t_H(d) = t_D(d) - T_N(d)/2
es az alkonyate
t_A(d) = t_D(d) + T_N(d)/2
alakban irhato le. Ezen ket fuggveny kepe is szerepel az idezett
cikkben. A legrovidebb nappalt tehat a t_A(d) - t_H(d) fuggveny
minimuma
adja meg, amelynek napja nem eshet ossze a t_A(d) vagy a t_H(d)
fuggvenyek
szelso ertekenek a napjaval, ha azok kulonbozoek.
Udvozletem kuldom
Major Janos
Max-Planck-Institut fur Metallforschung | |
Heisenbergstr. 1, D-70569 Stuttgart | |